New representation of integer numbers based on 2’s-powered, their algebraic relations and their applications (Fermat’s Last Theorem)

We present a binary-power decomposition for every integer; express an integer  as the sum of successive powers of 2 and identify any missing terms (called defectors). This yields a unique partition of  into a complete part (a full geometric sequence of 2-powers) minus a defector sum. We introduce the notion of an integer’s rank (the highest exponent in its decomposition) and develop an algebra governing parity and exponentiation directly from these binary-power sums. As a principal application, we revisit the Diophantine equation . By analyzing parity patterns and exploiting uniqueness of the binary-power decomposition, we show that no nontrivial solutions exist in  when , recovering Fermat’s Last Theorem through an elementary combinatorial-parity argument.

                                                                                                            

 

                                                                                                           

                                                                                                           

                                                                                                           

                                                                                                         

                                                                                                                                                                         

                                                                                                         

                                                                                                          

 

دانلود و مشاهده نسخه اصلی