We present a binary-power decomposition for every integer; express an integer  as the sum of successive powers of 2 and identify any missing terms (called defectors). This yields a unique partition of  into a complete part (a full geometric sequence of 2-powers) minus a defector sum. We introduce the notion of an integer’s rank (the highest exponent in its decomposition) and develop an algebra governing parity and exponentiation directly from these binary-power sums. As a principal application, we revisit the Diophantine equation . By analyzing parity patterns and exploiting uniqueness of the binary-power decomposition, we show that no nontrivial solutions exist in  when , recovering Fermat’s Last Theorem through an elementary combinatorial-parity argument.                                                                                                      

زندگی آنچنان پویا ، پیچیده و زیباست که رنجهایش انسان افکن و نابود ساز نمی توانند باشند ، گر چه هر روزناظر بر افتادن و از پای در آمدن انسانهایی هستیم . آنچه در بالا بدان گذر شد دستاویزی تراویده از مغز بود که خود حاصل تجربه ها و چکیده زندگی های بسیار است.غرض از بیان بالا ، بیان آغاز هر چیز به بهانه آوردن نیست،بلکه جمع بست تجارب است که در پیامد کلام و گفتار بدان روی خواهیم نمود.   اینک با این کاغذ،این قلم،زیر نور کم که به کورسوی می ماند و آزارده چشم وناتوان کننده آنست ،می کوشم تا با مهمیز اندیشه بر اسب چموش پراکندگی ذهن و آشوب ان غلبه کنم و رشته اصل گفتار را بر ورق نگارم.                                                                                   

اشاره: چندی پیش خبر نابغه دروغین و مسائل مربوط به آن ، از نظر خوانندگان گرامی گذشت. اشاره کردیم که در فقدان نهادهای متولی امور علمی، چگونه یک خبر جعلی می تواند با وسعت کم نظیری اذهان مردم را به بازی بگیرد. اما این ، تنها یک روی یک سکه است . عدم توجه و کارکرد نهادها می تواند باعث آن شود که مطالب و مسائل جدی زمینه های علمی نیز، به طرز دردناکی امکان عرضه نیابد و مجهور بماند. مطلب حاضرنیز دارای نکات ظریف و قابل توجه علمی است که اساتید بزرگی در رشته ریاضیات آن را قابل عرضه و جالب دانسته اند. اما از آنجا که نویسنده آن امکان عرضه جدی آن را نیافته است ، به ترفند طنز و مطایبه دست یازیده که این خوش ذوقی به جذابیت مطلب افزوده است. جای ذکر است که پرویز شهریاری استاد گرانقدر ریاضیات در یادداشتی در تایید این مطلب نوشته است، “این دیدگاه می تواند سرآغاز مناظره تازه ای در ریاضیات باشد”.    

  اشاره: نخستین شماره همشهری در سال گذشته در صفحه علمی، فرهنگی حاوی گفتگویی خیالی ، نیمه جدی و نیمه طنز بود با آپولونیوس یکی از همفکران فیثاغورث که به همراه فیثاغورث برای طرح نظریه خود – سیستم دیاگرامیک – به عالم زندگی بازگشته بود. استاد پرویز شهریاری آن نوشته آقای سعید افشار را قابل توجه دانسته و پیش بینی کرده بود که شاید سرآغاز مناظره تازه ای باشد. چندی پس از چاپ آن مطلب نوشته ای در پاسخ به آن از سوی آقای حسین غفاری ، به روزنامه رسید . با توجه به پیچیدگی مطلب نخست ، گمان نمی کردیم که پاسخی بدان برسد.اما به همان زبان ، نگاه دیگری به موضوع شده است که خواندن آن را دلچسب می نماید.                                                                                     

فیثاغورث ، یکی از بنیانگذاران دانش غرب و نیز یکی از چهره های برجسته هندسه و ریاضیات در غرب است . در مورد زندگی و تعالیمش ناشناخته های بسیاری وجود داردو حتی نسبت به تاریخ تولد و مرگش ( 470 تا 569 قبل از میلاد) نیز بین تاریخ شناسان ، اختلاف نظر وجود دارد. آنچه اینک از اندیشه ها و افکار فیثاغورث می دانیم ، عمدتا از طریق پیروانش چون افلاطون و پلاتینوس (1) و نیز توسط تاریخ نگاران باستان نظیر بورفیری(2) ، بامیلتوس(3) و لارتیوس(4) به ثبت رسیده است، اما تقریبا می توان با قطعیت گفت که فیثاغورث، زمان زیادی را در مصر و بابل گذراند و در آنجا با فیلسوفان هم عصر خود به تفکر می نشست . تعالیم او در زمان حیاتش به شدت سری نگاه داشته می شد و تقریبا شکی نیست که وی ، فردی خارق العاده بوده است .                                      

آنچه که علیت را هویت می بخشد و بدان اقتدار و مشروعیت می دهد یا حتی زورمندیه شناختی فرا می دهد – اعطا می کند- تا آن – چونان یک مقوله جدی – هم باشد ، هم به حساب آورده شود و هم احساس شود ، به گونه ای که ما نتوانیم آن را به کلی انکار کنیم یا دست کم بر روی اینکه آن ماهیتی ذهنی یا عینی دارد شک وارد کنیم خود علیت و دامنه و بُرد گسترده آن بوده و هست . این را هم کانت و هم ملاصدرا متوجه شده و آگاهانه یا ناآگاهانه نبز آن را در کار آورده اند.                                                                                                                       

ثابت می کنیم که معادله x^n + y^n = z^n برای و n  زوج، در مجموعه اعداد طبیعی دارای جوابی به صورت (a,b,c) که در آن a,b اعداد فرد و c  عدد زوج باشد ، نیست. همچنین نشان می دهیم که  معادله  برای دارای جوابی به صورت (a,b,c) که حداقل a  یا b یا c  برابر با 1 باشد در ، دارای جواب نیست.